ARITMATIKA : PENGANTAR BERHITUNG, SEJARAH, DAN PERKEMBANGANNYA

Hai Sahabat Elpison. Bagaimana kabarnya? Semoga selalu sehat dan tetap semangat menyambut tahun pelajaran baru di era new normal.

Pada kesempatan kali ini, Elpison akan belajar Aritmatika : Pengantar Berhitung, Sejarah, dan Perkembangannya. Materi ini telah di pelajari di Sekolah Dasar (SD), dan diperdalam kembali di Kelas VII SMP.

Mari belajar bersama!

ARITMATIKA : PENGANTAR BERHITUNG, SEJARAH, DAN PERKEMBANGANNYA

Operasi tambah merupakan dasar dari operasi hitung pada sistem bilangan. Perkalian merupakan operasi tambah yang berulang, sedangkan pengurangan merupakan lawan daari operasi tambah. Selain itu, operasi bagi adalah lawan dari operasi kali, sekaligus merupangan mengurangan yang berulang.

ARITMATIKA : PENGANTAR BERHITUNG, SEJARAH, DAN PERKEMBANGANNYA

Selanjutnya, bentuk operasi kali yang berulang adalah operasi pangkat. Sedangkan operasi akar dan operasi logaritma masing-masing sebagai lawan dari operasi pangkat dan operasi pangkat khusus.

Hubungan antara operasi-operasi yang dijelaskan di atas, dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Hubungan Operasi-Operasi Hitung

Penjumlahan

Kita telah mengetahui bahwa tanda tambah (+) adalah lambang untuk operasi penjumlahan atau pertambahan, sehingga kalimat matematika seperti jumlah delapan dan lima sama dengan 13 ditulis secara singkat dengan “8 + 5 = 13”. Tanda + mulai digunakan pada abad ke-15 untuk menandai “karung padi-padian atau gandum yang melebihi berat yang ditentukan sebelumnya”

Terdapat beberapa sifat penting dari operasi penjumlahan yang berlaku pada himpunan bilangan real. Sifat-sifat tersebut di antaranya adalah sebagai berikut.

1. Himpunan semua bilangan real tertutup operasi penjumlahan, yaitu untuk setiap bilangan real a dan b, maka a + b merupakan bilangan real.

2. Operasi penjumlahan bersifat komutatif, yaitu untuk setiap bilangan real a dan b berlaku :

a + b = b + a

Contoh : 2 + 3 = 3 + 2 dan -10 + 6 = 6 + (-10)

3. Operasi penjumlahan bersifat asosiaif, yaitu untuk setiap bilangan real a, b, dan c berlaku :

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Contoh : 5 + ( 6 + 7 ) = ( 5 + 6 ) + 7

dan -2 + ( -1 + 6 ) = ( -2 + ( -1 )) + 6

4. Operasi penjumlahan pada himpunan semua bilangan real memiliki unsur identitas, yaitu 0, karena untuk setiap bilangan real a berlaku :

a + 0 = 0 + a = a

5. Setiap bilangan real a memiliki lawan terhadap perasi penjumlahan, yaitu (-a)

Karena a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0

Pengurangan

Operasi kurang adalah lawan (invers) dari operasi tambah. Contohnya “6 dikurangi dengan 5” sama artinya dengan “6 ditambah dengan lawan dari 5”, sehingga 6 – 5 = 6 + (-5) =1

Contoh lainnya :

1) 4 - 8 = 4 + ( -8 )

2) 0 - 7 = 0 + ( -7 )

3) -2 - 7 = -2 + ( -7 )

Begitu pula :

4) 2 - ( -5 ) = 2 + ( +5 )

Jadi, untuk setiap bilangan a dan b, berlaku a - b = a + ( -b ), yaitu mengurangi dengan sebuah bilangan ‘sama dengan’ menambah dengan ‘lawan’ dari bilangan itu.

Menghitung dengan Neraca Bilangan

Berapakah 5 – 2 ?

Ikuti langkah-langkah sebagai berikut!

a) Mula-mula kaitkan satu keping timbangan pada poisis 5 di kanan

b) Tambahkan satu keping pada posisi 2 di kiri

c) Tentukan posisi satu keping lagi agar neraca seimbang

d) Posisi itu ada pada 3

e) Jadi, 5 – 2 = 5 + ( -2) = 3

Perkalian

Pada awal pembahasan ini dikatakan bahwa perkalian adalah penjumlahan berulang. Hal ini diartikan banwa 3 x 5 sama artinya dengan 5 + 5 + 5, sehingga 3 x 5 = 5 + 5 + 5. Begitu pula dengan 5 x 3 sama artinya dengan 3 + 3 + 3 + 3 + 3.

Dalam aljabar, yang dimaksud dengan 3 x a adalah a + a + a, sehingga 3 x a = a + a + a

Dengan demikian, penjumlahan a + a + a + a dapat ditulis secara singkat dengan 4 x a. Sehingga a + a + a + a = 4 x a. Selanjutnya, tulisan 4 x a seringkali cukup ditulis dengan 4a. Dalam hal ini tanda “x” tidak ditulis lagi.

Selesaikan beberapa soal di bawah ini!

1) 2 x 5 dan 5 x 2

2) 10 x 3 dan 3 x 10

3) 15 x 11 dan 11 x 15

4) Apakah yang dapat kalian simpulkan tentang hasil kali dari soal (1), (2), dan (3) di atas?

Apakah jawabanmu seperti berikut?

1) 2 x 5 = 10 dan 5 x 2 = 10

2) 10 x 3 = 30 dan 3 x 10 = 10

3) 15 x 11 = 165 dan 11 x 15 = 165

Dari soal dan jawaban (1), (2), dan (3) adalah 2 x 5 = 5 x 2, 10 x 3 = 3 x 10, dan 15 x 11 dan 11 x 15. Sifat seperti ini memperlihatkan pada kita bahwa operasi perkalian bersifat komutatif

Umumnya, perkalian memiliki sifat komutatif (pertukaran), yaitu untuk setiap bilangan real a dan b berlaku a + b = b + a.

Kembali pada pertanyaan semula. Apakah artinya a x 4? Karena perkalian bersifat komutatif, maka a x 4 = 4 x a = a + a + a + a = 4a

Selain memiliki sifat komutatif, operasi perkalian pun memiliki sifat-sifat penting yang lainnya, di antaranya adalah sebagai berikut. 

1) Perkalian bersifat asosiatif, yaitu untuk setiap tiga bilangan real a, b, dan c berlaku :

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Contoh : 3 + ( 4 + 5 ) = 3 + 9 = 12 dan ( 3 + 4 ) + 5 = 7 + 5 = 12

Jadi,  3 + ( 4 + 5 ) = ( 3 + 4 ) + 5

2) Perkalian bilangan-bilangan memiliki unsur identitas kali, yaitu 1. Sebab, untuk setiap bilangan real a berlaku :

a x 1 = 1 x a = a

Perpangkatan 

Pada awal pembahasan ini telah dikatakan bahwa operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang. Contohnya, tulisan 2 x 2 x 2 dapat disingkat dengan 2^3, sehingga 2 x 2 x 2 = 2^3. Angka 3 pda tulisan 2^3 disebut pangkat, sedangkan angka 2 pada 2^3 disebut bilangan pokok (bilangan yang dipangkatkan).

Berdasarkan penjelasan di atas, dapat diketahui bahwa tulisan 7 x 7 x 7 x 7 dapat ditulis 7^4. Dengan menggunakan pengertian itu, maka yang dimaksud dengan tulisan 8^3 adalah 8 x 8 x 8, sehingga 8^3 = 512.

Dalam aljabar pun yang dimaksud dengan p^3 adalah p x p x p, sehingga p^3 = p x p x p.

Dengan menggunakan definisi di atas, coba kamu buktikan bahwa :

1) t^2 x t^3 = t^5

2) 2^3 x 2^4 = 2^7

Apakah buktimu seperti berikut ini?

1) Karena t^2 = t x t dan t^3 = t x t x t, maka 

t^2 x t^3 = ( t x t ) x ( t x t x t ) ... (arti perpangkatan)

t^2 x t^3 = t x t x t x t x t ... (sifat asosiatif)

t^2 x t^3 = t^5 ... (arti perpangkatan)

Jadi terbuktilah bahwa p^2 x p^3 = p^5

2) Karena 2^3 = 2 x 2 x 2 dan 2^4 = 2 x 2 x 2 x 2, maka 

2^3 x 2^4 = ( 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 x 2 ) ... (arti perpangkatan)

2^3 x 2^4 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ... (sifat asosiatif)

2^3 x 2^4 = 2^7 ... (arti perpangkatan)

Jadi terbuktilah bahwa 2^3 x 2^4 = 2^7

Berdasarkan penjelasan di atas, untuk bilangan-bilangan cacah m dan n selalu berlaku : a^m x a^n = a^m+n

Pembagian

Telah disampaikan bahwa pembagian merupakan lawan dari perkalian. Hal ini dapat diartikan bahwa kalimat pembagian 10 : 2 = 5 sama artinya dengan kalimat perkalian 5 x 2 = 10 atau 2 x 5 = 10. Demikian juga bahwa a : b = c sama artinya dengan kalimat perkalian c x b = a atau b x c = a.

Berbeda degan perkalian, operasi pembagian tidak bersifat komutatif, tidak bersifat asosiatif, dan membagi suatu bilangan dengan 0 (nol) tidak memiliki jawab. Contoh :

1) 6 + 2 ≠  2 : 6 ... (tidak komutatif)

2) 16 : ( 8 : 2 ) ≠ ( 16 : 8 ) : 2 ... (tidak asosiatif) 

3) 10 : 0 = ? ... (tidak memiliki jawab)

Selain operasi-operasi hitung yang telah kita bahasa di atas, masih banyak operasi-operasi yang aturannya berbeda dengan operasi hitung serta unsur-unsur yang dioperasikannya tidak selalu bilangan. Misalnya opersi khusus yang didefinisikan. Akan kita bahas berikut ini.

Seringkali kita menjumpau sebuah operasi, dan namailah operasi itu dengan “*” (bintang). Selanjutnya kita misalkan bahwa yang dimaksud dengan tulisan “a*b” adalah “jumlahkanlah a dan b, dan hasilnya kurangi dengan 2”.

Memperhatikan aturan yang ditentukan oleh operasi *, maka dengan menggunakan kalimat matematika yang singkat, operasi tersebut dapat ditulis dengan a * b = a + b – 2.

Dengan menggunakan aturan yang telah ditentukan oleh perasi *, maka :

1) 3 * 4 = 3 + 4 – 2

3 * 4 = 5

2) 10 * 6 = 10 + 6 – 2

10 * 6 = 14

3) p * q = p + q – 2

4) x * y = x + y – 2

Semoga bermanfaat!